Dowód poproszę…

0
206
- reklama -

Historia podobna do poniższej może zdarzyć się wszędzie. Przypuśćmy więc, że pewien młody turysta, zwiedzając nasze miasto, przechodził obok teatru. Przypadkiem spojrzał na szyld ,,Tramwaj Cafe”. Wszedł do kawiarni, lecz zamiast kawy zapragnął napić się cieszyńskiego piwa. Jednak nie od razu dane mu było zakosztować tej przyjemności. Gdy poprosił barmana o kufel ,,Noszaka”, ten, nie będąc pewnym praw klienta in spe do spożycia złotego napoju, poprosił o ich udowodnienie. Młodzieniec sięgnął do kieszeni i wyciągnął dowód osobisty, a zapisana w nim data urodzenia wskazała, że jest on osobą pełnoletnią. Usiadł więc i po siedmiu minutach – bo tak długo trwa poprawne nalanie piwa – mógł rozkoszować się smakiem napoju, który rozsławia Cieszyn na piwnej mapie kraju.

Zwróćmy uwagę, jak turysta udowodnił pełnoletniość. Okazując barmanowi dowód osobisty, dostarczył niezbitego argumentu, przekonującego o prawdziwości faktu urodzenia się nie później niż osiemnaście lat temu. Podobnie udowadniamy, że jesteśmy uprawnieni do kierowania samochodem, wyciągając na żądanie policjanta prawo jazdy, odczytując serię cyfr w gabinecie okulistycznym, dowodzimy posiadanie dobrego wzroku, a dowodem przynależności do naszego kręgu kulturowego staje się znajomość pierwszych słów ,,Pana Tadeusza” lub ostatnich ,,Hamleta”.
Tak samo jest z dowodzeniem prawdziwości każdej głoszonej przez nas tezy. Chcąc przekonać rozmówcę, musimy dostarczyć mu niezbitego argumentu i to takiego, który jest on w stanie zrozumieć. Najpierw jednak sami musimy być przekonani o słuszności tego, o czym mówimy.
Sposoby argumentowania mogą być skrajnie różne. Inaczej przekonuje się fachowca w jakiejś dziedzinie, a inaczej laika. Poziom naszego przekazu musi zatem być dostosowany do oczekiwań odbiorcy.
Nie inaczej jest z dowodami twierdzeń naukowych. Badacz najpierw formułuje hipotezę, a następnie dąży do jej potwierdzenia lub obalenia. Potwierdzenie oznacza udowodnienie prawdziwości. Gdy uda się to zrobić, naukowiec przeprowadził dowód na własny użytek i może teraz rozpocząć popularyzację swojego twierdzenia – jest nim bowiem każde zdanie prawdziwe. Musi więc przekonać swoje audytorium, że nie jest w błędzie. Tak samo nauczyciel dowodzi w szkole twierdzeń matematycznych, wiedząc już, że są prawdziwe, a dopiero potem przekonując do tego uczniów.
W poprzednim numerze pisałem m.in. o Wielkim Twierdzeniu Fermata, które doczekało się dowodu dopiero 357 lat po sformułowaniu, a w latach 1637 – 1994 było hipotezą. Ze zrozumiałych powodów nie omówię jego dowodu, którego sam nie znam, a zrozumieć go potrafi może pięć czy dziesięć osób na świecie. Zajmę się faktem wchodzącym nie tylko w skład kanonu wiedzy matematycznej, ale i – nie wahajmy się stwierdzić – ogólnego wykształcenia każdego z nas. Mam na myśli twierdzenie Pitagorasa. Spośród bardzo wielu znanych dowodów przytoczę ten, który zrozumieć mogą wszyscy czytelnicy. Tak więc swój przekaz i poziom argumentacji dostosuję do szerokiego grona odbiorców.
Najpierw jednak sformułuję tezę, którą postaram się udowodnić. Twierdzenie Pitagorasa głosi, że jeśli trójkąt jest prostokątny, to pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej, czyli na boku leżącym naprzeciw kąta prostego jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych, czyli na ramionach kąta prostego. Odwołując się do fotografii poniżej oznacza to, że pole największego z trzech kwadratów jest równe sumie pól dwóch mniejszych kwadratów.

W tej chwili odbiorca musi wiedzieć jedynie, czym są trójkąt prostokątny oraz kwadrat. Nie trzeba nawet znać wzorów na pola tych figur, wystarczy poprzestać na intuicji mówiącej, że pole figury to obszar, jaki ona zajmuje, wyrażony w jakichś jednostkach: centymetrach kwadratowych, metrach kwadratowych, arach czy hektarach.
Wiedząc już, czego będziemy dowodzić, możemy przystąpić do argumentowania swoich tez. Tutaj przywołam metodę geometryczną, gdyż dobrze wykonana ilustracja, lepiej przemawia do wyobraźni odbiorcy niż tysiąc słów. Spójrzmy więc na kolejne zdjęcie.

- reklama -


Przestawia ono dwa kwadraty o równych polach. Kwadrat po lewej stronie złożono z czterech identycznych trójkątów prostokątnych oraz największego z kwadratów, o których mowa w twierdzeniu Pitagorasa. Kwadrat po prawej stronie złożono z czterech takich samych trójkątów i z dwóch mniejszych kwadratów. Skoro mówimy o identycznych czerwonych trójkątach, to cztery trójkąty w lewym kwadracie zajmują tę samą powierzchnię, co cztery trójkąty w prawym kwadracie. Skoro więc pola obu kwadratów są równe, to i pole niebieskiego kwadratu po lewej stronie jest identyczne jak suma pól dwóch niebieskich kwadratów po prawej stronie. A to właśnie należało wykazać.
Teraz kilka słów o kontrprzykładach. Kontrprzykład, czyli przykład obalający hipotezę, również jest dowodem… fałszywości tej hipotezy, więc prawdziwości hipotezy przeciwnej. Zauważmy, że każde logiczne zdanie oznajmujące jest albo prawdziwe, albo fałszywe. Potencjalnie istnieje więc jeden z dowodów: prawdziwości tego zdania lub jego fałszywości, czyli prawdziwości zaprzeczenia. Chyba wszyscy wiedzą, czym są liczby pierwsze. Ich znakomitą większość stanowią liczby nieparzyste. Czy zatem wszystkie liczby pierwsze są nieparzyste? Nie, gdyż kontrprzykład stanowi liczba 2, która ma dokładnie dwa różne dzielniki: 1 i samą siebie.
Powróćmy jeszcze do wskazanej w poprzednim akapicie potencjalności istnienia dowodu. Istnieje wiele nierozstrzygniętych dotąd hipotez – obiektywnie są one albo prawdziwe, albo fałszywe, ale nikt z nas nie wie, jak jest w rzeczywistości. W matematyce na czoło wysuwa się hipoteza Riemanna, ale nawet jej sformułowanie dostępne jest tylko fachowcom. Osobiście natomiast, fascynuje mnie bardzo prosta do przedstawienia hipoteza Collatza, sformułowana w 1937 r. Otóż pomyślmy o jakiejś liczbie naturalnej. Niech np. będzie to 3. Jest to liczba nieparzysta, więc pomnóżmy ją przez 3 i dodajmy 1. Otrzymamy 10. Jest to liczba parzysta, więc podzielmy ją przez 2 otrzymując 5. Znów jest to liczba nieparzysta, więc mnożymy ją przez 3 i dodajemy 1 otrzymując 16 – liczbę parzystą. Stosując opisany algorytm dalej otrzymamy liczby 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, a sekwencja 4, 2, 1 będzie powtarzać się w nieskończoność. Wystartujmy od innej liczby naturalnej, np. od 11. Otrzymamy ciąg liczb 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 4, 2, 1, 4, 2, 1 itd. Hipoteza Collatza głosi, że niezależnie od której liczby naturalnej wystartujemy, zawsze skończymy na powtarzającym się ciągu 4, 2, 1. Zrozumieć to może każda osoba potrafiąca dodawać i mnożyć. Hipoteza ta jest jednak nierozstrzygnięta, czyli brak zarówno jej dowodu, jak i obalającego ją kontrprzykładu. Jeśli ten drugi istnieje, stanowiłaby go niewyobrażalnie wielka liczba, gdyż dotychczas hipotezę Collatza potwierdzono dla bardzo wielu liczb startowych. Jak jednak powiedział jeden z największych matematyków światowych, Pál Erdős (1913-1996), matematyka współczesna nie jest jeszcze gotowa do rozwiązywania problemów klasy hipotezy Collatza. Może w przyszłości, któryś z moich czytelników wniesie wkład do jej rozstrzygnięcia?

Szymon Wąsowicz – prywatny nauczyciel, mentor i trener. Popularyzator matematyki, autor bloga Być matematykiem (byc-matematykiem.pl). Tłumacz tekstów naukowych, autor lub współautor 35 prac naukowych opublikowanych w recenzowanych czasopismach o zasięgu międzynarodowym. Doktor habilitowany nauk matematycznych, profesor Akademii Techniczno-Humanistycznej w Bielsku-Białej. Z zamiłowania humanista, znawca twórczości Jaroslava Haška. Pasjonat historii motoryzacji, śpiewu chóralnego oraz aktywności fizycznej. Zapalony rowerzysta.

- reklama -