Okres świąteczno-noworoczny obfituje w wyjazdy. Znajdując się poza miejscem zamieszkania należy zadbać o nocleg. Zapraszam więc do odwiedzenia osobliwego w swoim rodzaju hotelu Hilberta.
David Hilbert (1862-1943) był matematykiem niemieckim, który złotymi zgłoskami zapisał się w historii królowej nauk. Pojęcia takie jak przestrzeń Hilberta, kostka Hilberta czy dowód hilbertowski, a także twierdzenie Hilberta o bazie, twierdzenie Hilberta o zerach i wiele innych odgrywają w matematyce współczesnej doniosłą rolę. Uczniem Hilberta był m. in. Hugo Steinhaus – odkrywca talentu Stefana Banacha.
Wśród wielu zainteresowań naukowych Hilberta znajdują się zbiory nieskończone. Pisałem o nich już w felietonach Odkrycie czy wynalazek („Tramwaj Cieszyński” grudzień/styczeń 2022/23) oraz O naturze nieskończoności („Tramwaj cieszyński” maj 2023). Tym razem skupię się na właściwym sposobie rozumienia istoty zbioru nieskończonego. Wiele wyjaśnia paradoks wspomnianego na wstępie hotelu. Zatem ad rem.
Nasza intuicja związana z kolekcjami różnych przedmiotów obejmuje w oczywisty sposób zbiory skończone. Tutaj część jest zawsze mniejsza od całości. Jeśli ze zbioru skończonego usuniemy choćby jeden element, otrzymamy zbiór o mniejszej liczbie elementów. Wyobraźmy sobie jednak hotel, w którym jest bardzo dużo, bo nieskończenie wiele pokoi, numerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi 1, 2, 3… W okresach urlopowych czy w czasie długich weekendów zdarza się, że wszystkie pokoje są zajęte. Tak też było tym razem w hotelu Hilberta. Trafił tu jednak gość zmęczony bezskutecznym poszukiwaniem noclegu. Ponieważ recepcjonista nie chciał odmawiać przyjęcia, wykazał się sprytem. Poprosił mieszkańca pokoju 1 o przeniesienie się do pokoju 2, mieszkańca pokoju 2 o przeniesienie się do pokoju 3 i każdego z zakwaterowanych gości o przeniesienie się do pokoju o numerze o jeden większym niż ten, który dotychczas zajmował. W ten sposób zwolnił się pokój 1, w którym został umieszczony nasz gość.
W ten sposób recepcjonista mimo pełnej zajętości hotelu gotów jest przyjąć dowolną skończoną liczbę gości. Przypuśćmy, że autobus przywiózł wycieczkę złożoną z 50 turystów. Również ich można łatwo zakwaterować. Wystarczy każdego mieszkańca hotelu poprosić o przejście do pokoju o numerze o 50 większym od tego, który dotychczas zajmował.
Jednak kłopoty logistyczne jeszcze się nie skończyły. W hotelu Hilberta zapragnęło zanocować nieskończenie wielu turystów (a dokładnie tylu, ile jest wszystkich liczb naturalnych). Tutaj recepcjonista musiał udać się po rozum. Ale nie musiał iść daleko, jedynie do własnej głowy. Tak więc poprosił gościa z pokoju 1 o przejście do pokoju 2, gościa z pokoju 2 o przejście do pokoju 4, gościa z pokoju 3 umieścił w pokoju 6 itd. Tym sposobem każdy z dotychczasowych gości przeniósł się do pokoju o numerze dwukrotnie większym od numeru pokoju, który zajmował. Tym sposobem po dokonaniu przeprowadzek zajęte były tylko pokoje o numerach parzystych, a zwolniły się pokoje o numerach nieparzystych. W sam raz na umieszczenie w nich nieskończenie wielu nowo przybyłych osób.
Jak więc rozumieć nieskończoność? Jeśli zapiszemy na kartce liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, to połowa z nich jest parzystych i połowa jest nieparzystych. Intuicja trzeźwo myślącego człowieka każe przypuszczać, że wszystkich liczb nieparzystych jest tyle samo, co wszystkich liczb parzystych. I jest to szczera prawda, nawet w sensie matematycznym. Podążając dalej stwierdzimy, że wszystkich liczb parzystych jest o połowę mniej niż wszystkich liczb naturalnych. W tym miejscu kierowca wychodzi ze swojego samochodu i ogląda zniszczenia powstałe wskutek uderzenia np. w słupek parkingowy. Logiczny wydawałoby się wniosek z poprzednich rozważań jest błędny. Wszystkich liczb parzystych jest bowiem dokładnie tyle samo, ile wszystkich liczb naturalnych. Zawodzi więc intuicja ilościowa znana nam z obcowania ze zbiorami skończonymi. Jeśli są one niezbyt duże, liczbę ich elementów można zwyczajnie policzyć, tak jak cukierki na ręce dziecka czy zapałki w pudełku. Takie liczenie nie sprawdza się dla zbiorów nieskończonych. Tutaj właściwym jest łączenie w pary. Przecież oczywistym jest, że jeśli na bankiecie każdy z panów poprosi do tańca jedną z pań, a wszystkie stoliki będą puste, to w sali znajduje się tyle samo kobiet, co mężczyzn.
Zaprośmy więc do tańca liczby naturalne. Liczba 1 prosi liczbę 2, liczba 2 prosi 4, 3 prosi 6 itd., dokładnie tak samo jak uczynił to recepcjonista z hotelu Hilberta. W ten sposób każda liczba naturalna n zaprasza liczbę 2n, która jest oczywiście parzysta. Co więcej, w tym szalonym tańcu każda liczba parzysta jest partnerem jakiejś liczby naturalnej. Dla przykładu liczba 30 tańczy z liczbą 15, a liczba 32 z liczbą 16, a 202 ze 101. Tańczą więc wszystkie pary: liczba naturalna z liczbą parzystą, a żadna z liczb nie podpiera ściany. Wirując po parkiecie oba zbiory liczb naturalnych i liczb parzystych zauważają, że mają tyle samo elementów – są równoliczne.
W analizie nieskończoności zawodzi więc przywołana na wstępie intuicja mówiąca, iż część jest mniejsza od całości. Jedna z definicji zbioru nieskończonego wręcz odwołuje się do naszego tańca: zbiór nazywamy nieskończonym, jeśli ma podzbiór właściwy, który jest z nim równoliczny. Jak starałem się wyjaśnić, jest tak ze zbiorem liczb naturalnych, którego podzbiór złożony z liczb parzystych jest z nim równoliczny.
Rozważania o nieskończoności są interesujące nie tylko z wymienionych tu względów. Wspominałem już w przywołanych tu felietonach, że istnieją różne rodzaje nieskończoności, jedna większa od drugiej. Tutaj dotknęliśmy ledwie tzw. nieskończonych zbiorów przeliczalnych, czyli liczących tyle samo elementów, ile jest wszystkich liczb naturalnych. Czytelnik pozwoli, że zakończę mocnym obrazoburczym akcentem. Otóż zbiór liczb wymiernych, czyli ułamków o licznikach i mianownikach całkowitych takich jak 7/12, 43/11, 27/15, 7/5 itp. również jest przeliczalny. Jak można pomieścić to w naszych głowach, skoro dajmy na to pomiędzy 1 a 2 mamy nieskończenie wiele ułamków, a tylko dwie liczby naturalne? Zdrowy rozsądek nakazuje myśleć, że liczb wymiernych jest znacznie więcej niż liczb naturalnych. Widzieliśmy jednak, jak z tym matematycznym rozsądkiem bywa.
