Prawdopodobnie każdy z szanownych Czytelników przeczytał w swoim życiu przynajmniej jedną biografię. Życiorysy postaci czy to współczesnych, czy historycznych, zawsze fascynowały. Nie zawsze, ale często przedstawiają one jakieś wzory godne naśladowania. Nic lepszego dla poszukujących autorytetów. Oczywiście nie jest to jedyna droga ich znalezienia. Spójrzmy choćby na kilku wielkich nauczycieli tego świata, za którymi podążyły prawdziwe rzesze: Siddhartha Gautama, współczesny mu Konfucjusz, Jezus Chrystus, św. Tomasz z Akwinu, Blaise Pascal, Mahatma Gandhi czy Winston Churchill. Osoby swoim postępowaniem ustalające pewną orientację.
Orient – dla Rzymian wschodnia część cesarstwa. Później wszystkie tereny położone na wschód od Europy. Dziś wiadomo, że przypisywane Europejczykom wynalazki techniczne czy matematyczne twierdzenia znacznie wcześniej znane były Chińczykom. Również Stary Testament przepowiada nadejście Mesjasza ze wschodu. Stąd w architekturze często świątynie chrześcijańskie projektowano tak, aby ołtarz był zwrócony ku wschodowi – ad orientem. Zauważmy również, że muzułmanie rozpoczynając swoje modły zwracają się w kierunku Mekki. Nawiasem mówiąc, dla znacznej części świata również ad orientem.
W kwestii przekazu językowego dobrą orientację stanowi łacina. Język martwy, nie podlegający zmianom. Teksty napisane przed dwoma tysiącami lat mają i dziś to samo znaczenie. Nic więc dziwnego, że kanonicznym tłumaczeniem Biblii jest w Europie Wulgata. Przekładu tego dokonał z języków oryginalnych, hebrajskiego oraz greki św. Hieronim w IV w. n.e. Również dziś czytamy ją z wielką przyjemnością i jednoznacznym zrozumieniem. W wersetach 33 i 34 Psalmu 67 czytamy: Regna terrae cantate Deo psallite Domino diapsalma psallite Deo, qui ascendit super caelum caeli ad orientem ecce dabit voci suae vocem virtutis. Królestwa ziemi mają zatem śpiewać Bogu, który wstępuje ponad niebiosa ku wschodowi wydając głos potężny. Jednak kierunku wschodniego nie znajdziemy we współczesnych (i nie tylko) translacjach. Biblia Tysiąclecia tak tłumaczy ten fragment (ze względu na niespójną numerację mamy tu Psalm 68 (67)): Śpiewajcie Bogu, królestwa ziemi, zagrajcie Panu, który przemierza niebo, niebo odwieczne. Oto wydał głos swój, głos potężny. Kierunku wschodniego nie ma też ani w przekładzie bpa Kazimierza Romaniuka, czyli w Biblii Warszawsko-Praskiej, ani w dobrze znanej Biblii Gdańskiej. Ale mamy go w znanym tłumaczeniu Biblii autorstwa Jakuba Wujka: Królestwa ziemskie, śpiewajcie Bogu, grajcie Panu, grajcie Bogu, który wstąpił na niebo nad nieby, na wschód słońca. Oto da głosowi swemu głos mocy. Czyżby niektórzy tłumacze celowo pominęli ważne słowa dla osiągnięcia partykularnych celów?
Osąd pozostawmy teologom (w tej kwestii toczą się oczywiście żarliwe dysputy).
Ustaliliśmy dotychczas, że etymologią słowa orientacja jest orient, czyli wschód. W języku potocznym orientacja oznacza skierowanie myśli w konkretnym kierunku, wzorowanie się na jakimś autorytecie. Mamy też orientację w terenie. Zauważmy, że tę pozwala określić kompas, również wskazujący konkretny kierunek, co prawda nie wschodni, ale północny, co związane jest z właściwościami ziemskiego pola magnetycznego. W każdym razie cechą orientacji powinna być niezmienność. Wszędzie tam, gdzie pojawia się możliwość interpretacji, można wyciągać różne wnioski, a człowiek traci pewność odczuwając niejednokrotnie zagubienie.
Ta niezmienność jest atrybutem matematyki. Każde udowodnione zdanie było prawdziwe, jest prawdziwe i będzie prawdziwe, dopóki trwać będzie wszechświat, a może i o dzień dłużej. Żaden mentor, polityk czy demagog nie jest w stanie zmienić twierdzenia Pitagorasa. Na tak pewnym fundamencie można budować systemy filozoficzne.
A jakie znaczenie ma w matematyce orientacja? Wyobraźmy sobie okrąg jako tarczę zegara. Można poruszać się po nim zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek lub przeciwnie do niego. Takie określenie obiegu ma pewien mankament: odwołuje się do naszego doświadczenia czy sztuki inżynierskiej, a chciałoby się dysponować wskazaniem kierunku od nich niezależnym. Tym bardziej, że można spotkać zegary, których wskazówki poruszają się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, czyli w lewo. Pozostańmy jednak przy tym właściwym zegarze. Jeśli poruszamy się po okręgu przeciwnie do ruchu jego wskazówek, mamy wnętrze tarczy po lewej stronie. Tego rodzaju obieg (na dowolnej krzywej zamkniętej) nazwano dodatnim. Nie muszę mówić, co oznacza obieg ujemny. Taka definicja w znacznie mniejszym stopniu odwołuje się do naszych doświadczeń. Powszechnie wiadomo, która ręka jest prawa, a która lewa. Przypominam sobie jednak któryś z mocno archiwalnych numerów miesięcznika Wiedza i Życie, w którym relacjonowano badania mające na celu jednoznaczne stwierdzenie, która ze stron jest prawa, a która lewa. Jedyne wnioski dotyczyły jednak istnienia dwóch niezależnych stron a dokładniej możliwości określenia czy dwa obiekty znajdują się po tej samej stronie. Dotykamy tu bardzo ciekawego tematu klasyfikowania, któremu być może poświęcę któryś z kolejnych felietonów.
Tak więc orientację krzywej zamkniętej stanowi kierunek obiegu po niej. Inne jej pojęcie to określenie wnętrza i zewnętrza. Przecież każdy punkt płaszczyzny leży albo wewnątrz okręgu, albo na nim samym, albo na zewnątrz. Tu mamy do czynienia z klasyfikacją trychotomiczną. Jeśli wejdziemy w przestrzeń (oczywiście trójwymiarową, znów dostępną naszym zmysłom), możemy mówić o płaszczyźnie, również z dwiema stronami. Ale jakimi? Górna i dolna, a może prawa i lewa czy też przednia i tylna? Ważne, że każda płaszczyzna ma dwie strony. Ma je też płaszczyzna pofalowana. Ale bardzo interesująca wstęga Möbiusa nie ma żadnej orientacji, czyli jest jednostronna. Zachęcam Czytelników do wycięcia z dłuższego boku kartki formatu A4 paska o szerokości ok. 5 cm, przekręcenia jednego z końców o 180 stopni i sklejenia z drugim. Jeśli spróbujemy rysować po tej wstędze ołówkiem, to nie odrywając go od naszej powierzchni potrafimy ją całą zamalować.
Wracając do przestrzeni, mamy też powierzchnie zamknięte, jak
np. sferę. I znów rozróżniamy dwie strony: wewnętrzną i zewnętrzną. Jeszcze ciekawsze jest uzgodnienie orientacji krzywej zamkniętej znajdującej się w przestrzeni (wyobraźmy sobie pofalowanego chipsa i jego brzeg) oraz ograniczonej nią powierzchni. Otóż orientacje są zgodne, jeśli obiegowi dodatniemu wzdłuż brzegu odpowiada orientacja powierzchni w górę. Oj, znów to nasze doświadczenie, ale nie rozdzielajmy już włosa na czworo.
Wszelkie orientacje są matematykom, fizykom czy inżynierom potrzebne do obliczania różnych wielkości jak momenty, strumienie pól, prace itp. Wartości niektórych z nich są zależne od orientacji w ten sposób, że jej zmiana powoduje zmianę znaku na przeciwny. Jaką byłaby matematyka, jeśli nagle zaczęlibyśmy spadać w górę lub cofać w przód, a objętość bryły byłaby ujemna?
Matematyczny i życiowy orient, ster i drogowskaz, którego jakże bardzo potrzebujemy, aby nasze życie przebiegało właściwie. Potrzebę orientu dostrzegli nawet twórcy filmowi. W osławionej Seksmisji Juliusza Machulskiego odgrywany przez Jerzego Stuhra Maks Paradys po przejściu na właściwą (nomen omen) stronę świata mówi: Uwaga, grupa! Kierunek – wschód! Tam musi być jakaś cywilizacja. Na pewno jest.
Szymon Wąsowicz – prywatny nauczyciel, mentor i trener. Popularyzator matematyki, autor bloga Być matematykiem (byc-matematykiem.pl). Tłumacz tekstów naukowych, autor lub współautor kilkudziesięciu prac naukowych opublikowanych w recenzowanych czasopismach o zasięgu międzynarodowym. Doktor habilitowany nauk matematycznych, profesor Uniwersytetu Bielsko-Bialskiego. Z zamiłowania humanista, znawca twórczości Jaroslava Haška. Pasjonat historii motoryzacji, śpiewu chóralnego oraz aktywności fizycznej. Zapalony rowerzysta.
