- reklama -
W czasach współczesnych wykształcenie wyższe uległo głębokiej dewaluacji. Jeśli kiedyś osobę z tytułem magistra obdarzano należną estymą, to dziś nawet doktorat nie zawsze potwierdza kwalifikacje naukowe jego posiadacza. Jest tak między innymi dlatego, że namnożyło się, zresztą głównie prywatnych, wyższych szkół tego i owego. Według relacji moich znajomych, w jednej z nich matematyk rozpoczął swój wykład od następującego stwierdzenia: „– Jak Państwo doskonale wiedzą, istnieją różne rodzaje nieskończoności”. Cóż mogli pomyśleć amatorzy dyplomów magistra, którzy matematyczną edukację zakończyli wiele lat temu? Zapewne wykładowcy chodzi o plus nieskończoność i minus nieskończoność. Prawdziwa jednak natura nieskończoności jest bardzo złożona i jeszcze bardziej ciekawa.
W życiowej praktyce nie stykamy się ze zbiorami nieskończonymi. Przecież w portfelu mamy określoną liczbę złotówek, dziennie wypijamy ileś filiżanek kawy.Nawet liczba ziarenek piasku na morskim wybrzeżu, choć ogromna, jest skończona. Tysiąc czy milion to dla wielu z nas duże liczby. Nawet setka pretenduje do tego miana. Wystarczy wsłuchać się w słowa znanej piosenki country, według której dróg prowadzących do Mrągowa jest ze sto, a przecież wszystkie prowadzą do tego uroczego mazurskiego miasteczka.
Według znanej anegdoty wynalazca królewskiej gry – czyli szachów – zażądał od zachwyconego cesarza niewielkiej w jego oczach nagrody. Otóż na pierwszym polu szachownicy władca miał położyć jedno ziarenko pszenicy, na drugim dwa ziarenka, na trzecim cztery i tak na każdym następnym polu znaleźć się miało dwukrotnie więcej ziarenek niż na polu poprzednim. Jak się rychło okazało, wszystkie spichlerze świata nie pomieściły takiej liczby ziaren pszenicy.
A cóż dopiero powiedzieć o liczbie atomów we wszechświecie, która oceniana jest na 10 do potęgi 60 (jedynka z sześćdziesięcioma zerami)? Taką liczbę z łatwością zapiszemy w dwóch liniach tekstu, albo jeszcze prościej w postaci czterech cyfr i notacji potęgowej.
Przytoczone powyżej przykłady świadczą o tym, iż wielkość niektórych liczb przyprawić może o zawrót głowy. Po cóż nam więc dywagować o nieskończoności?
Filozofowie mówią o nieskończoności potencjalnej. Jej realizacją w świecie matematyki jest możliwość stałego powiększania liczb. Jeśli do którejś z nich dodamy jedynkę, to powstanie większa liczba. Dodajemy kolejną jedynkę i… Ten proces, przynajmniej w teorii, nie ma końca. Rozumowanie to stanowi negatywną odpowiedź na pytanie, która z liczb jest największa.
Jak sprawdzić czy w dużej sali jest więcej mężczyzn, czy kobiet nie licząc ani jednych, ani drugich? Wystarczy poprosić wszystkich obecnych o połączenie się w pary różnej płci. Po wykonaniu polecenia osoby nie połączone w pary będą przedstawicielami jednej płci. Jeśli są to mężczyźni, to w sali jest więcej mężczyzn, a jeśli kobiety, to kobiet. Na takim parowaniu polega idea równoliczności zbiorów. Okazuje się, że można połączyć w pary liczby naturalne z liczbami parzystymi, i – co dziwne – nie pozostanie żadna liczba naturalna bez pary: jedynkę z dwójką, dwójkę z czwórką, trójkę z szóstką itd. Paradoksalnie więc liczb parzystych jest tyle samo co wszystkich liczb naturalnych, a nie o połowę mniej. Z kolei nie da się połączyć w pary liczb naturalnych z liczbami rzeczywistymi – zawsze pozostaną jakieś liczby rzeczywiste bez pary. Mamy zatem więcej liczb rzeczywistych niż liczb naturalnych – oba zbiory nie są równoliczne, a nieskończoność pierwszego zbioru jest większa od nieskończoności drugiego. Obie nieskończoności mają więc inne rodzaje.
Okazuje się, że istnieje cała hierarchia zbiorów nieskończonych. Wyobraźmy sobie jakiś zbiór. Niech na początek będzie to zbiór dwuelementowy. Ma on cztery podzbiory: zbiór pusty (nie posiadający żadnego elementu), dwa podzbiory jednoelementowe oraz on sam. Z kolei zbiór czteroelementowy (właśnie go utworzyliśmy) ma już szesnaście podzbiorów (pominę ich wyliczanie). Ta intuicja przenosi się na dowolne zbiory – również nieskończone. Zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru (zwany jego zbiorem potęgowym) ma od niego więcej elementów. Oznacza to, że podzbiorów żadnego zbioru nie można wyczerpująco połączyć w pary z jego elementami. Jest to dość głębokie twierdzenie z podstaw matematyki, którego dowód jest w mojej opinii jednym z piękniejszych w całej Królowej Nauk. Powiem tylko, że opiera się on na paradoksie Russella: przypuśćmy, że pewien golibroda goli wszystkich i tylko tych, którzy nie golą się sami. Czy goli on sam siebie?
Wracając do zbiorów nieskończonych pomyślmy o zbiorze liczb naturalnych. Jego zbiór potęgowy ma od niego więcej elementów, więc jego nieskończoność jest większa, ma inny rodzaj. Z kolei zbiór potęgowy tego zbioru potęgowego ma jeszcze więcej elementów – znów otrzymujemy innego rodzaju nieskończoność. I tak – nomen omen – ad infinitum.
Najmniej licznym zbiorem nieskończonym jest zbiór liczb naturalnych. Jego zbiór potęgowy ma tyle samo elementów, ile jest wszystkich liczb rzeczywistych (czyli – jak określają to matematycy – continuum). Jest to kolejne twierdzenie z trudnym i specjalistycznym dowodem. Jednak warto zwrócić uwagę na pytanie, czy pomiędzy nieskończonością zbioru liczb naturalnych a continuum istnieje jakaś nieskończoność pośredniego rodzaju? Ponad sto lat temu, w czasach fin de siècle, udzielenie odpowiedzi stało się na tyle ważne, że David Hilbert, jeden z najwybitniejszych matematyków w historii, umieścił je w roku 1900 na pierwszym miejscu słynnej listy dwudziestu trzech nie rozwiązanych problemów matematycznych. Co więcej, w roku 1963 amerykański matematyk Paul Cohen udowodnił, że w ramach aksjomatyki, którą posługują się matematycy, w ogóle nie można odpowiedzieć na to pytanie. Stąd też nazwa hipoteza continuum. Nie jest to jakiś sztuczny wymysł, gdyż istnieją zdania prawdziwe założeniu jej prawdziwości, a fałszywe, gdy przyjmiemy ją za fałszywą (więcej na ten temat napisałem w felietonie Odkrycie czy wynalazek zamieszczonym w lutowym numerze Tramwaju).
Wspomniany na wstępie nieszczęsny wykładowca miał zatem rację w kwestii istnienia różnych rodzajów nieskończoności. Czy natomiast studenci o tym wiedzą i czy wiedzą doskonale? Śmiem wątpić, gdyż szczegóły omówionego w tym artykule zagadnienia bliskie są jedynie osobom studiującym matematykę lub zajmującym się nią zawodowo. Nie stanowi to oczywiście przeszkody w popularyzatorskiej prezentacji, której podjąłem się mając nadzieję, że zdołam przybliżyć Czytelnikom choć skrawek tego, czym matematycy zajmują się naprawdę.
Szymon Wąsowicz – prywatny nauczyciel, mentor i trener. Popularyzator matematyki, autor bloga Być matematykiem (byc-matematykiem.pl). Tłumacz tekstów naukowych, autor lub współautor 35 prac naukowych opublikowanych w recenzowanych czasopismach o zasięgu międzynarodowym. Doktor habilitowany nauk matematycznych, profesor Akademii Techniczno-Humanistycznej w Bielsku-Białej. Z zamiłowania humanista, znawca twórczości Jaroslava Haška. Pasjonat historii motoryzacji, śpiewu chóralnego oraz aktywności fizycznej. Zapalony rowerzysta.
- reklama -
