Życie współczesnego człowieka zdominowały różnego rodzaju media. To z nich czerpiemy wiedzę o otaczającej nas rzeczywistości. Niestety nader często ich relacje stanowią fundament, na którym budujemy swoje opinie. Jesteśmy społeczeństwem informacyjnym. Elementem medialnych relacji są różnego rodzaju klasyfikacje. Kryteria, na których się opierają, mogą być wielorakie. Wykształcenie, wiek, wykonywany zawód, dochód per capita, czy wreszcie prawidłowy/nieprawidłowy. W tym artykule zajmę się tym ostatnim rodzajem kryterium, czyli klasyfikacjami dychotomicznymi.
Wprowadzając klasyfikację dychotomiczną stwierdzamy czy klasyfikowane obiekty mają jakąś własność, czy też jej nie mają. Na gruncie dziedziny wiedzy, którą uprawiam, czyli matematyki, język używany przy tej czynności może przyprawić o uśmiech. Przyjrzyjmy się kilku przykładom.
Liczba nieujemna, to taka liczba, która nie jest ujemna. Gdyby na zadane na lekcji języka polskiego pytanie czym jest liczba nieujemna uczeń udzielił powyższej odpowiedzi, śmiem twierdzić, że ryzykowałby otrzymanie oceny niedostatecznej za brak szacunku do nauczyciela. Ileż jednak w tym prostym zdaniu logiczno-matematycznej precyzji. Wszystkie liczby – a dla osób bardziej obeznanych z Królową Nauk wszystkie liczby rzeczywiste – albo są ujemne, albo nie są ujemne i nie istnieje liczba, która byłaby ujemna oraz nie byłaby ujemna. W naturalny sposób mamy tutaj dychotomię: liczby ujemne i liczby, które nie są ujemne. Te właśnie liczby nazwiemy nieujemnymi.
Liczba niewymierna to taka liczba, która nie jest wymierna. Kolejne zdanie o głębokiej treści. Albo liczbę można zapisać w postaci ułamka, w którym i licznik, i mianownik są liczbami całkowitymi (liczby wymierne), albo zrobić tego nie można (liczby, które nie są wymierne; nazwijmy je niewymiernymi). Wspominałem już w innym tramwajowym felietonie, że zwolennicy pitagorejskiego poglądu filozoficznego utrzymywali, iż wszelkie panujące w przyrodzie relacje między liczbami można wyrazić przez proporcje liczb całkowitych. Określili nawet, że ℼ=22/7. Mówiąc językiem współczesnym twierdzili, że wszystkie liczby są wymierne. Nie trzeba przekonywać, jak wielkim ciosem dla szkoły pitagorejskiej było, że przekątna kwadratu nie pozostaje w żadnej proporcji z jego bokiem, która wyrażałaby się stosunkiem dwóch liczb całkowitych. Krótko mówiąc – istnienie liczb niewymiernych zrujnowało szkołę pitagorejską. Jednak na udowodnienie niewymierności liczby π trzeba było poczekać aż do roku 1761. Dokonał tego pochodzący z Alzacji naukowiec Johann Heinrich Lambert.
Macierz nieosobliwa to taka macierz, która nie jest osobliwa. W tym miejscu Czytelnikom należy się kilka wyjaśnień. Wyobraźmy sobie ekran telewizora czy komputerowego monitora. Dziś wielu z nas potrafi wymienić jego podstawowe parametry, a jednym z ważniejszych jest rozdzielczość (np. full HD oznacza 1920 linii pionowych i 1080 linii poziomych). Również wielu zna znaczenie słowa piksel, czyli pojedynczy punkt ekranu. W dużym uproszczeniu piksele to liczby wpisane na przecięciu linii pionowych i poziomych monitora niosące informacje o kolorach. Tak więc ekran możemy wyobrazić sobie jako prostokątną tablicę liczb, w rozdzielczości full HD mającą 1920 kolumn i 1080 wierszy. Tego rodzaju tablice matematycy nazywają macierzami i wykonują na nich obliczenia prowadzące np. do zmiany kolorów, powiększenia czy pomniejszenia, obrócenia obrazu pod odpowiednim kątem itp. Jedną z wielkości potrzebnych do takich obliczeń jest liczba zwana wyznacznikiem macierzy. Co prawda określa się ją dla macierzy kwadratowych, mających tyle samo kolumn, co wierszy, ale przecież i z macierzy opisującej stan ekranu można wybrać macierz kwadratową, ograniczając się tylko do 1080 linii pionowych. Skoro wyznacznik jest liczbą, to albo jest równy zero, albo nie jest równy zero. Macierz osobliwa, to taka macierz kwadratowa, której wyznacznik jest równy zero. Macierz, której wyznacznik jest różny od zera, nazywamy nieosobliwą. Tak więc w pełni uprawnieni jesteśmy do dosadnego stwierdzenia rozpoczynającego ten akapit.
Sądząc po przywołanych tu przykładach, w języku potocznym wszystkie trzy zdania brzmią jak językowe tautologie. Tę samą informację podaje się na dwa różne sposoby, czyli to samo tłumaczy się przez to samo używając jedynie różnych konstrukcji słownych. Dla matematyka czy logika zdania te mają jednak głęboki sens. Z jednej strony wskazują na klasyfikacje dychotomiczne, a z drugiej nawiązują do kwestii definiowania pojęć.
Każda definicja składa się z dwóch części: definiendum (czyli to, co się definiuje) jest nazwą wprowadzanego pojęcia, a definiens nadaje temu pojęciu sens, czyli wyjaśnia czym ono jest. Dla przykładu liczbą pierwszą nazywamy taką liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki. Definiendum jest tu wyrażenie liczba pierwsza, a definiensem posiadanie przez liczbę naturalną dokładnie dwóch dzielników (jedynka ma tylko jeden dzielnik, więc nie jest liczbą pierwszą). Przypuśćmy zatem, że dobrze wiemy, czym są liczby wymierne i właśnie wykazaliśmy, że istnieją też liczby, które nie są wymierne. Tak więc definiensowi ,,nie być liczbą wymierną” nadajemy sens w postaci definiendum ,,być liczbą niewymierną”.
Tak naprawdę dopiero w chwili ustalenia, że oprócz liczb wymiernych istnieją także liczby niewymierne, kończymy proces definiowania tych drugich. Określane pojęcie powinno bowiem cechować się dwiema własnościami: istnieniem obiektu, który spełnia warunki definicji, ale też istnieniem innego obiektu, który ich nie spełnia. Przypuśćmy, że liczbę x nazwiemy mądrą, jeśli x2 + 1 > 0. Wobec tego każda liczba jest mądra i nie istnieją liczby, które nie są mądre. Nie istnieje więc obiekt, który nie spełnia warunków tej definicji. Nazwijmy teraz liczbę x dziwną, jeśli x > x + 1. Ale ze szkolnego kursu matematyki wiemy, że nie ma takiej liczby, która spełniałaby powyższą nierówność, nie istnieją zatem liczby dziwne. Te dwa przykłady pokazują więc niepoprawny proces definiowania pojęć.
Mówiąc zatem, że liczba nieujemna to taka liczba, która nie jest ujemna, nie wyrażamy się tautologicznie bez okazania odbiorcy szacunku, lecz nawiązujemy do procesu definiowania pojęć oraz pewnego kryterium klasyfikacyjnego, które jest dychotomiczne. Warto więc podjąć refleksję nad językiem, którym się posługujemy, a uśmiechem poprawić swój nastrój.
Szymon Wąsowicz – prywatny nauczyciel, mentor i trener. Popularyzator matematyki, autor bloga Być matematykiem (byc-matematykiem.pl). Tłumacz tekstów naukowych, autor lub współautor 35 prac naukowych opublikowanych w recenzowanych czasopismach o zasięgu międzynarodowym. Doktor habilitowany nauk matematycznych, profesor Akademii Techniczno-Humanistycznej w Bielsku-Białej. Z zamiłowania humanista, znawca twórczości Jaroslava Haška. Pasjonat historii motoryzacji, śpiewu chóralnego oraz aktywności fizycznej. Zapalony rowerzysta.
