Świątecznie o liczbie π

Czemu π jest liczbą wartą tak szczególnej uwagi? Z badań prowadzonych przez Archimedesa można wywnioskować, że udowodnił on, iż stosunek długości obwodu okręgu do długości jego średnicy nie zależy od wymiarów okręgu i jest wielkością stałą, którą dziś oznaczamy przez π. Być może ta informacja nie miałaby większej wagi, ale konsekwencje opisanego faktu są zadziwiające, a sama liczba π pojawia się w różnych, często odległych kontekstach.

Ze współczesnego mędrcowi z Syrakuz okresu pochodzi biblijna Druga Księga Kronik. W czwartym wersecie jej drugiego rozdziału czytamy, że Salomon podczas budowy świątyni jerozolimskiej sporządził odlew okrągłego ,,morza’’ o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci. Jak łatwo zauważyć, stosunek długości średnicy ,,morza’’ do jego obwodu wyniósł 30:10 czyli 3. Tak więc można przyjąć, że biblijnym przybliżeniem liczby π jest właśnie 3. Sami Grecy znali znacznie lepsze przybliżenie w postaci ułamka 22/7, które jest dokładne właśnie do dwóch miejsc po przecinku, czyli 3,14. Wciąż jednak skupiamy się na stosunkach dwóch liczb całkowitych, czyli na liczbach wymiernych. Okazuje się jednak, że każde przybliżenie naszej bohaterki ułamkiem okaże się niedokładne. W języku matematyki mówimy, że π jest liczbą niewymierną. Po raz pierwszy udowodnił to jednak dopiero Johann Heinrich Lambert w roku 1761. Jak wiadomo, liczby niewymierne mają nieskończone i nieokresowe rozwinięcia dziesiętne. Oznacza to, że dla liczby niewymiernej ciąg jej cyfr po przecinku nie cechuje się żadnym powtarzającym się wzorcem. Do tego właśnie nawiązuje słynny wiersz Wisławy Szymborskiej ,,Liczba Pi”. Przywołajmy jego krótki fragment.

 

Podziwu godna liczba Pi

trzy koma jeden cztery jeden.

Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe,

pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy.

Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem

osiem dziewięć obliczeniem

siedem dziewięć wyobraźnią,

a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem

cztery sześć do czegokolwiek

dwa sześć cztery trzy na świecie.

 

Poetka do tego stopnia akuzmatycznie zachwyca się bohaterką swojego utworu, że pozwala sobie w całym ciągu wiersza wymieniać kolejne początkowe cyfry. W cytowanym urywku znajdziemy 3,141 592 653 589 793 238 462 643, czyli 24 miejsca po przecinku (sprawdziłem, zostały podane poprawnie). Może warto przyjrzeć się wierszowi pozbawiając go tych cyfr. Spójrzmy:

 

Podziwu godna liczba Pi

trzy koma jeden cztery jeden.

Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe,

ponieważ nigdy się nie kończy.

Nie pozwala się objąć spojrzeniem

obliczeniem

wyobraźnią,

a nawet żartem, czyli porównaniem

do czegokolwiek

na świecie.

 

Co prawda nasza noblistka nie nazwała tego niewymiernością, ale piękne poetyckie słowa na pewno pokazują admirację autorki, która w dalszym toku utworu odnajduje w dziesiętnym zapisie liczby π datę urodzenia, numer telefonu i wiele innych ciekawych liczb.

Drugą niebywałą cechą dzisiejszej bohaterki jest jej przestępność. W bardzo wielkim uproszczeniu można powiedzieć, że nie da się znaleźć równania żadnego stopnia, które miałoby współczynniki całkowite, a którego rozwiązaniem byłaby liczba π. Udowodnił to w roku 1882 Ferdinand Lindemann. Czemu ta przestępność jest ciekawa? Otóż w świecie liczb rzeczywistych jest to własność niemal powszechna, a jednak oprócz π dobrze znamy jeszcze tylko jedną liczbę przestępną, którą jest  e ≈ 2,72 (tzw. liczba Eulera). Tak więc liczby przestępne stanowią jedną z tajemnic damskiej torebki, w której można znaleźć dowolny przedmiot, ale nie w chwili, w której jest on potrzebny.

Wspomniałem, że liczba π pojawia się w wielu matematycznych kontekstach. Jednym z nich jest sumowanie ułamków, np.

Jedno z podstawowych zastosowań rachunku prawdopodobieństwa wiąże się z tzw. krzywą Gaussa, a ograniczone przez nią pole ma wartość

Istnieje też kontekst niematematyczny. Słyszałem kiedyś następujący dowcip: do mechanika samochodowego przyjeżdża klient skarżący się na dochodzące od jednego z kół stukanie. Po gruntownych oględzinach pojazdu fachowiec pyta klienta: czy zna pan wzór na pole koła? Owszem, jest to πr². A ile wynosi π? Trzy z hakiem – pada odpowiedź. I wreszcie diagnoza: to ten właśnie hak panu stuka.

Można przytaczać jeszcze wiele własności naszej bohaterki, ale parafrazując powiedzenie francuskiego prawnika i matematyka Pierre’a de Fermat (który w roku 1637 sformułował hipotezę udowodnioną dopiero w roku 1994, a zwaną dziś Wielkim Twierdzeniem Fermata), łamy „Tramwaju” są zbyt ciasne, żeby je wszystkie pomieścić. W zamian za to, ku czci naszej bohaterki wypijmy dziś kufel cieszyńskiego πwa.