Język matematycznej liturgii

0
349
- reklama -

Choć dla ,,Tramwaju Cieszyńskiego” napisałem już kilkanaście felietonów, wciąż prowadzę badania naukowe, dodając czasem do jej potężnego gmachu swoje cegiełki. Mogę więc obserwować proces twórczy zarówno swój, jak i innych matematyków, m. in. tych, z którymi współpracuję. Mogę również przyjrzeć się stosowanemu przez nas językowi, który – zaręczam – jest specyficzny i hermetyczny, pozwala jednak precyzyjnie wyrazić myśli.

Czytelnik zapewne spyta o źródło obrazka ilustrującego ten tekst. Obiektem matematycznym jest trójkąt, w którym dostrzegamy symetryczny wzór nie pozbawiony cech piękna. Skąd pomysł artysty na stworzenie takiego dzieła? Któż jest tym artystą? Spieszę donieść, że rysunek wygenerował program komputerowy napisany w trakcie badań naukowych, które obecnie prowadzę wspólnie z przyjacielem, profesorem Andrzejem Komisarskim z Łodzi. Zajmujemy się przybliżonym obliczaniem całek (te potrzebne są niemal w każdej dziedzinie nauk inżynierskich) na tworach zwanych sympleksami. Dzielimy je na mniejsze sympleksy, badamy dokładność obliczeń i jeśli jest satysfakcjonująca, zaprzestajemy dalszych podziałów robiąc je jedynie tam, gdzie potrzebujemy większej precyzji. Odzwierciedlają to zaciemnione obszary obrazka. Niepostrzeżenie wkroczyliśmy na teren sygnalizowany tytułem, którego pomysł dał w niedawnej dyskusji jeden z „tramwajowych” (i nie tylko) autorów, Paweł Czerkowski.
Analizując proces tworzenia matematyki, niewątpliwie można dostrzec pewien rytuał. Podejmując refleksję nad danym zagadnieniem, formułujemy hipotezy. Jedne okażą się prawdziwe, inne wiodą na manowce fałszu. Musimy jednak posłużyć się pewnym językiem, zrozumiałym albo tylko przez nas, albo przez wąskie grono osób. Niesie to w sobie pierwiastek ezoteryczny, pozwala jednak szybko i precyzyjnie wyrazić myśli. Pochylmy się zatem nad kilkoma ulubionymi przez matematyków konstrukcjami języka ich liturgii.
W pierwszej klasie szkoły średniej realizuje się temat przekształcania wyrażeń algebraicznych. Ceremoniał rozpoczyna się od wymnażania sum znajdujących się w nawiasach, a kończy sprowadzeniem do tzw. najprostszej postaci przez redukcję wyrazów podobnych. Czym są te wyrazy? Może bliskoznaczne? Jak je zredukować? Może przez anihilację? Przypuśćmy, że na moim stoliku obok filiżanki z kawą znajduje się talerzyk z dwoma pączkami i drugi talerzyk z trzema pączkami. Łącznie więc mamy na stoliku pięć pączków, a niewątpliwie wszystkie pączki są do siebie podobne. W matematyce jest zupełnie analogicznie. Nazwijmy pączek tajemniczym iksem. Mamy więc 2 x+3 x=5 x. Dwa pączki i trzy pączki to razem pięć pączków, a wyrażenia, inaczej wyrazy, 2 x (symbolizujące dwa pączki) oraz 3 x (trzy pączki) są podobne, różnią się jedynie współczynnikami (w wyrażeniu 2 x liczba 2 jest współczynnikiem przy x). W celu redukcji wyrazów podobnych dodaje się lub ewentualnie odejmuje współczynniki. Odejmowanie też jest zasadne. Przecież jeśli na stole było pięć pączków, a zjadłem trzy z nich, to zostały tylko dwa pączki: 5 x–3 x=2 x. Jeśli mówimy o wyrazach podobnych, to zapewne istnieją i takie, które podobne nie są. Istotnie, jest tak np. dla wyrazów x² oraz x³. Jeśli odwołamy się do geometrii, to pierwszy z nich symbolizuje pole kwadratu o boku mającym długość x, zaś drugi objętość sześcianu o krawędzi mającej długość x. Jak można dodawać do siebie pole i objętość, dwie wielkości o zupełnie różnej naturze?
Kolejnym kwiatkiem z matematycznej łąki jest wyciąganie wspólnego czynnika przed znak sumy, całki, pochodnej itp. Zajmijmy się sumą, działaniem, które wszyscy rozumiemy i potrafimy wykonać. Przypuśćmy, że chcemy obliczyć sumę 10+20+50+70. Mamy więc jedną dziesiątkę, dwie dziesiątki, pięć dziesiątek i wreszcie siedem dziesiątek, łącznie piętnaście dziesiątek, czyli 150. Matematycznie działanie to może wyglądać następująco: 10+20+50+70=10x(1+2+5+7)=10×15=150. Tak więc liczba 10 (wspólna dziesiątka w każdym ze składników naszej sumy) została wyciągnięta przed nawias, czyli przed tę sumę jako nasz wspólny czynnik. W nawiasie natomiast pozostały liczby dziesiątek, które do siebie dodaliśmy.
Na koniec coś z zakresu bardziej zaawansowanej matematyki. Doskonale wiemy, co w języku potocznym oznacza słowo ustalić (sprecyzować, uściślić, skonkretyzować itp.). W podobnym znaczeniu funkcjonuje ono w matematyce, jednak sens odpowiadającej mu czynności jest trudny do uchwycenia dla ogółu społeczeństwa. Spróbuję posłużyć się następującym przykładem: udowodnię, że iloczyn każdych dwóch kolejnych liczb naturalnych jest liczbą parzystą. Rozpocznijmy matematyczne obrzędy. Najmniejszą liczbą naturalną jest jedynka (choć niektórzy twierdzą, że zero, ale panuje tu pewna swoboda). Kolejną jest więc dwójka, a iloczyn 1×2=2 jest oczywiście liczbą parzystą. Dalej, 2×3=6 znów jest liczbą parzystą, podobnie 3×4=12. Prowadząc dalej to wyliczenie być może wieczorem dojdziemy do 1267×1268=1606556 wciąż otrzymując liczby parzyste. Ale liczb naturalnych jest nieskończenie wiele, więc w ten sposób nigdy naszego rozumowania nie zakończymy. Potrzeba nam więc jakiegoś innego, lepszego sposobu celebry. Ustalmy więc dowolną liczbę naturalną n. Cóż to oznacza? Pomyślmy o dowolnie wybranej liczbie, ale nie nadawajmy jej jakiejś wartości. Wydawałoby się to przeciwieństwem konkretyzacji. Ta jednak skupia się w innym punkcie: zamiast mówić o wszystkich liczbach naraz, mówimy o jednej wybranej, przy czym może być ona wybrana dowolnie i nie ma znaczenia czy będzie to 12, czy może 697. Jeśli już ustaliliśmy liczbę n, to kolejną liczbą naturalną jest n+1. Mamy już dwie liczby naturalne, z których jedna jest parzysta, a druga nieparzysta. W rozkładzie jednej z nich na czynniki pierwsze otrzymamy więc dwójkę i tym bardziej wystąpi ona w rozkładzie iloczynu liczby n przez n+1. Iloczyn ten jest więc liczbą parzystą. Dalej mówimy o wszystkich liczbach naturalnych, ale posługując się jakąś abstrakcyjną ich przedstawicielką wybraną w sposób arbitralny.
Od ponad trzydziestu lat jestem czynnym matematykiem. Mimo ogromnego doświadczenia zarówno twórczego, jak i dydaktycznego wciąż dowiaduję się jednak, że istnieją rzeczy, które powinny być dobrze znane przez ogół społeczeństwa, lecz wcale tak nie jest. To dodawanie iksów czy igreków, przenoszenie na drugą stronę ze zmienionym znakiem, ustalanie elementów zbiorów itp. są tymi elementami hermetycznego matematycznego języka pozwalającego specjalistom szybko zorientować się w wykonywanych czynnościach, które bez merytorycznego przygotowania nie są w ogóle rozumiane i w wymowie brzmią czy w zapisie wyglądają hieroglificznie. Dużym więc zadaniem dla mnie jako nauczyciela jest odczarowanie tych dziwnych symboli i zaniesienie ich pod strzechy.
Czymże więc jest wspomniany na wstępie sympleks? Na płaszczyźnie to zwykły trójkąt, a w przestrzeni ostrosłup. Nie wchodźmy do ogrodu wyższych wymiarów. Trójkąt można dzielić na mniejsze trójkąty, niektóre zaciemniać, inne pozostawić nietknięte. Nawet jako autorzy odpowiedniej metody rozumowania, wspólnie z Andrzejem nie potrafimy racjonalnie wyjaśnić, dlaczego doprowadziła ona do tak ciekawego końca. Być może przynajmniej częściowej odpowiedzi udzieli nam Wisława Szymborska, jedna z polskich noblistek, która nie będąc matematyczką, napisała kiedyś wiersz ,,Liczba Pi” zachwycając się cudownymi właściwościami tytułowej bohaterki. Takie akuzmatyczne podejście można zaobserwować u wielu entuzjastów królowej nauk. A jak na prawdziwą królową przystało, jest ona rzeczywiście piękna i ma oczywiście swój iście królewski język. Nie każdy z nas rozumie łacinę, ale wielu dostrzega jej powaby. Zachwyćmy się zatem również językiem matematyki, który towarzyszy jej liturgii.

- reklama -