Po co nam aksjomaty?

0
374

Życie człowieka jest wielką podróżą w czasie i przestrzeni. Codziennie przenosimy się z punktu A do punktu B, pokonując krótsze lub dłuższe odległości. Stąd od zarania dziejów towarzyszyła ludzkości potrzeba ich mierzenia. Często wynika to z racjonalnych życiowych potrzeb. Programy nawigujące skłonne są do wybierania najkrótszej trasy. Jak jednak rozumieć najkrótszą trasę? W sensie odległości czy może czasu potrzebnego do jej pokonania? Czy stojąc na jednym z rogów prostokątnego trawnika o wymiarach 30 m na 40 m i chcąc dostać się do przeciwległego rogu wystarczy przejść 50 m po przekątnej (nie zawsze legalnie), czy może należy pokonać aż 70 m wzdłuż jego boków? Każdy z nas ma na te pytania swoją odpowiedź.

Przywołane tu dwa przykłady bezsprzecznie świadczą o konieczności podjęcia refleksji nad sposobem mierzenia odległości pomiędzy dwoma punktami. W tym miejscu na scenę wkracza matematyka. Przysłuchujące się poniższym rozważaniom osoby, nie zajmujące się zawodowo Królową Nauk, mogłyby zastanawiać się nad celowością dzielenia włosa na czworo, a niektóre z nich znacząco wskazałyby środek czoła. Nie zważając jednak na tego rodzaju odbiór podejmijmy wysiłek tej analizy. Zobaczymy tu jeden z możliwych sposobów matematycznego opisu otaczającej nas rzeczywistości.

Czym zatem powinno cechować się dobre pojęcie odległości? Większość z nas nie myląc się powie, że odległość nie może być ujemna. Ta jednak cecha okazuje się wtórna w stosunku do własności, które wkrótce przywołam. Pierwszą z oczywistych obserwacji jest taka, że odległość od punktu A do punktu A jest zerowa – nie przemieszczając się nie pokonujemy przecież żadnego dystansu. Musimy go jednak pokonać, jeśli chcemy się przemieścić z punktu A do innego punktu B. Tak więc odległość dwóch punktów A i B jest zerowa jedynie wtedy, gdy oba punkty są identyczne.

Jeśli po drodze nie czekają na nas różne sprawy do załatwienia, zwykle wracając z pracy do domu, wybieramy tę samą drogę, co jadąc z domu do pracy. Dlatego dobrze byłoby, gdyby dystans pomiędzy punktem A i punktem B był taki sam jak dystans pomiędzy punktem B i punktem A. Ta swoista symetria jest jedną z bardziej pożądanych cech wszechświata.

Przypuśćmy jednak, że wracając z pracy musimy jeszcze zrobić zakupy w sklepie leżącym w odległej dzielnicy. Wracając do domu będziemy poruszać się objazdem, a przecież każdy objazd jest dłuższy niż najkrótsza droga. I tak odległość z pracy do domu mierzona wzdłuż najkrótszej trasy będzie krótsza niż suma odległości z pracy do sklepu oraz ze sklepu do domu. Można tu wyobrazić sobie trójkąt o wierzchołkach dom, sklep i praca, a wspomniana własność nosi nazwę nierówności trójkąta.

To już wszystkie najsensowniejsze własności pojęcia odległości. Okazuje się, że to, iż każdy dystans jest nieujemny, wynika ze sprytnego ich połączenia. Jednak nie o tym chciałbym mówić w dalszej części felietonu.

Po cóż zatem tak dokładnie analizować własności odległości, skoro wystarczy do punktów A i B przyłożyć linijkę i zwyczajnie tę odległość, przynajmniej na mapie, zmierzyć? Otóż nie zawsze to podejście okazuje się właściwe. Co stanie się, gdy wspomniany na wstępie trawnik zostanie zagrodzony płotem? Cóż z tego, że linijką zmierzymy na mapie odległość 50 m, skoro do pokonania mamy aż 70 m? Również ulice nowojorskiego Manhattanu przecinają się pod kątami prostymi, więc jedynym sensownym sposobem przemieszczenia się z jednego miejsca do drugiego jest przejście pewnego dystansu w jednym kierunku (powiedzmy w poziomie) i brakującego dystansu w drugim, prostopadłym do niego kierunku (w pionie). A teraz wyobraźmy sobie węzłową stację kolejową. Nie musimy szukać daleko – jest nią np. dworzec w Goleszowie. Jak teraz dostać się pociągiem z Cieszyna do Wisły? Najpierw pojedziemy do Goleszowa, a potem – po przesiadce – z Goleszowa do Wisły. Przebyta odległość jest sumą odległości z punktu początkowego do węzła i z węzła do punktu końcowego. Można przywoływać jeszcze wiele sensownych sposobów mierzenia odległości. Każdy z nich cechuje się trzema przywołanymi powyżej własnościami. Dlatego pomiar długości trasy zwykłą linijką, mimo iż sensowny, nie jest jedyną możliwą realizacją pojęcia odległości. Są i inne, które przydają się w różnych kontekstach.

Omówiony sposób badania otaczającej nas rzeczywistości jest aksjomatyczny. Aksjomaty na ogół wywodzimy z życiowych obserwacji stwierdzając, że istnieją obiekty, które je spełniają, a niektóre z nich są inne niż te dostępne naszemu bezpośredniemu doświadczeniu.

W podobny sposób można podejść do kwestii istnienia życia na naszej planecie. Kiedyś w historii wszechświata zaistniały okoliczności warunkujące możliwość istnienia życia. Ale naukowcy dowodzą, że podobne możliwości pojawiają się też w innych miejscach wszechświata. Ale na razie nie wiemy, na czym polegałoby życie w tych miejscach. Z dużą dozą prawdopodobieństwa możemy jednak stwierdzić, że życie na Ziemi oraz życie na innej planecie będą miały wiele wspólnych cech.

Inny rodzaj aksjomatyzacji występuje w sferze finansów. Dla przykładu, jeśli podajemy roczną stopą procentową na poziomie 9%, to miesięczna stopa procentowa jest jej dwunastą częścią i wynosi już tylko trzy czwarte procenta. Z zasady dzielenia stopy procentowej i dopasowywania jej do odpowiedniego okresu, wynikają wszystkie metody obliczania kwot pieniężnych. A przecież obliczenia finansowe można by prowadzić w inny sposób, np. posługując się oprocentowaniem ciągłym, dochodząc do nieco innych wniosków. Wszystko leży w gestii ustalających bankowe regulaminy.

Próby aksjomatyzacji i wywodzenia z aksjomatów własności opisanych nimi obiektów, mogą wydawać się zbędne. Wydaje mi się jednak, że systematyzują one naszą wiedzę, pozwalają na znalezienie punktów styczności różnego rodzaju pojęć. Nie patrzmy więc na matematyków z uśmiechem politowania, jak na niegroźnych dziwaków. Wszakże, słowami Hugona Steinhausa, między duchem a materią pośredniczy matematyka. A bez badań skutkujących doniosłymi odkryciami nasze życie byłoby uboższe i pozbawione wielu wygód.

Szymon Wąsowicz – prywatny nauczyciel, mentor i trener. Popularyzator matematyki, autor bloga Być matematykiem (byc-matematykiem.pl). Tłumacz tekstów naukowych, autor lub współautor 35 prac naukowych opublikowanych w recenzowanych czasopismach o zasięgu międzynarodowym. Doktor habilitowany nauk matematycznych, profesor Akademii Techniczno-Humanistycznej w Bielsku-Białej. Z zamiłowania humanista, znawca twórczości Jaroslava Haška. Pasjonat historii motoryzacji, śpiewu chóralnego oraz aktywności fizycznej. Zapalony rowerzysta.